vendredi 2 janvier 2015

Histoire d’eau... chaude

chauffe eau
Comment évolue la température de l’eau chaude en fonction du volume consommé la journée quand le chauffe eau ne chauffe que la nuit, c’est à dire en période creuse ? 

Et voilà la bonne question qui m’a fait cogiter pendant les congés : n’ayant pas trouvé de solution détaillée à cette question je me risque à publier la mienne.
Le problème est traité simplement avec les hypothèses simplificatrices suivantes :
  1. la température de l’eau chaude T n’évolue que du fait de la consommation par apport d’eau froide à Te (chauffe eau supposé isolé parfaitement)
  2. en début de journée le volume Vo est à la température To
  3. l’eau froide et l’eau chaude ont la même chaleur massique et le mélange est supposé instantané à la température d’équilibre entre l’apport en eau froide et le volume restant d’eau chaude.
  4. de façon similaire la consommation est faite à une température Td par mélange instantané entre l’eau chaude à la température T et l’eau froide à la température Te… tant que T est supérieur à Td (implicitement de façon initiale To doit aussi être supérieur à Td) et que Te est inférieur à Td bien entendu
Avec ces hypothèses la mise en équation est relativement simple :

Si je consomme dV d’eau chaude il entre dV d’eau froide et la température évolue de telle façon que :  (T + dT) Vo = T (Vo-dV) +Te dV
Soit 
dT / (T-Te) = - V/Vo
ce qui intégré de To à T donne 
T= Te + (To-Te) exp(-V/Vo) 
ou encore 
exp(-V/Vo) = (T-Te)/(To-Te)

Pour V = 0 on a bien T = To et pour V tendant vers l’infini, T tend vers Te.

V1 correspondant à T = Td est obtenu pour exp(-V1/Vo) = (Td-Te)/(To-Te)
Soit 
V1=Vo Ln((To-Te)/(Td-Te))

Mais jusqu’à cette quantité, l’eau extraite du chauffe eau est toujours d’une température supérieure à Td (pas simple de se doucher dans ces conditions). 
Pour conserver une température constante, pour chaque quantité dV d’eau chaude à T il convient d’injecter une quantité dV* d’eau froide  à Te telle que 

Td (dV+dV*) = T dV + Te dV* soit dV*=dV(T-Td)/(Td-Te)

Où nous remplaçons T par sa fonction de V et obtenons après simplification :

dV*/dV= ((To-Te)/(Td-Te))exp(-V/Vo) -1

Ce qui intégré entre 0 et V1 et en remplaçant exp(-V1/Vo) par son expression en fonction des températures aboutit à l’expression remarquable :

V1 + V1* = Vo (To-Td)/(Td-Te)

Application numérique pour Vo = 100 l, To = 65°, Td = 40° et Te=10° nous avons 

V1= 61 l et V1+V1* = 83 l

Ces résultats obtenus évidemment par excès peuvent s'illustrer de la façon suivante :
Evolution de la température eau chaude

5 commentaires:

  1. bonne année Louis, la santé surtout. Amitiés du vieux sorcier

    RépondreSupprimer
    Réponses
    1. Une bonne année Honorius, merci pour ta fidélité !

      Supprimer
  2. ouah ! beaucoup cogité mais pour moi trop compliqué ce matin
    a bientôt
    lyly

    RépondreSupprimer
  3. euh???? c 'est cro dur pour moi ..

    bonne année gl

    RépondreSupprimer
  4. voilà pourquoi je n'aime pas les maths x), pourquoi se compliquer la vie? si tu as de l'eau chaude au robinet tant mieux, si tu en as pas tu fais bouillir de l'eau chaude sur le feu! lol ça aussi c'est mathématique... ;-)

    RépondreSupprimer