Cercles dans un triangle

Une nouvelle construction avec juste une règle et un compas. 

Il s'agit maintenant de trouver les centres de cercles tangents à d'autres cercles dans un triangle. 

Contexte du billet "Histoires de cercles dans un rectangle"

J'avais déjà bossé sur la question de cercles dans un rectangle, là ça a aussi été assez long. 

Question trouvée sur Twitter, la construction a été assez difficile  à formaliser, c'est d'ailleurs en utilisant la propriété évoquée en fin de construction et en matérialisant les segments que je savais tracer que j'ai trouvé les points B1 et B2 me permettant de finaliser la construction. 

Nota : ma première résolution a été faite en utilisant la construction partagée dans cercles dans un rectangle donc en passant par un point intermédiaire mais sans partir des seuls éléments de l'énoncé.

Mise en forme de la construction 

La figure à construire est celle-ci, les données en blanc et inconnues en rouge pour faciliter la lecture.

Nota : pour construire les données du problème, demi cercle AB et BC nous avons 2 possibilités, choisir C ou l'angle alpha, le résultat sera le même.

Le point D, intersection des 2 demi cercles, semble aligné sur AC, c'est effectivement le cas puisque ADB et BDC sont inscrits dans les demis cercles donc rectangles en D, l'angle ADC est donc bien plat !

Nous pouvons maintenant tracer les bissectrices des angles BAD et DCB, les centres de cercles recherchés sont situés sur ces droites 

Les bissectrices des angles DBA et CBD coupent AC en B1 et B2

Les perpendiculaires à la droite AC en B1 et B2 coupent les bissectrices tracées précédemment en E et F, centres des cercles recherchés 

Cercles de rayon EB1 et FB2 bien entendu. La construction est ainsi finie (pas démontrée, ce n'était pas objet du billet).

Nota : les points E et F sont liés via le point intermédiaire sur BD, autre construction possible d'un point connaissant l'autre 

Vous pouvez jouer avec le fichier GeoGebra partagé : cercles dans un triangle

Conclusion

Pour partager ce second billet j'ai pris la peine de travailler un fichier PowerPoint en préparation d'une vidéo à venir, mais là ça m'a déjà permis de disposer des illustrations pour ce billet.

Vous aurez noté au passage que je pense promouvoir le hashtag #JusteUneRegleEtUnCompas. 

J'avais promis de partager les constructions de base pour les cercles dans un rectangle  là j'ai les outils pour réaliser les illustrations, ce qui était le plus long, mais maintenant je vais pouvoir commencer par les constructions de base puis rattraper le retard pris par rapport aux constructions déjà réalisées et partagées sur Louis CHATEL sur GeoGebra.

Il est bien entendu que ça va me donner aussi l'occasion d'alimenter cette nouvelle rubrique qui va compléter ma chaîne Youtube. 

J'espère que ces sujets d'animations vont vous intéresser, c'est moins porteur que les poésies mais ça aide à faire bosser les neurones. 

Louis CHATEL le 11/04/2022 

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